Calcul infinitésimal Exemples

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \frac{1}{y}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Étape 2.4

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

Étape 2.6

Comme $- \frac{1}{y^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{y^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Multipliez.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7.2

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Étape 2.9

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- \frac{1}{y^{2}}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- \frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $\frac{1}{y}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

Étape 4.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

Étape 4.3.3

Multipliez $- - \frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{y^{2}} y$

Étape 4.3.6

Remplacez $M$ par $\frac{1}{y}$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Étape 4.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Étape 4.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Étape 5.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $y^{2}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ par $y^{2}$ .

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $- - \frac{x}{y^{2}}$ .

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Étape 6.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Étape 6.6.2

Multipliez $\frac{x}{y^{2}}$ par $1$ .

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Étape 6.8

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.8.1

Déplacez $y^{2}$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Étape 6.8.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 6.8.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Étape 6.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Étape 6.8.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Étape 6.9

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 6.9.1

Annulez le facteur commun.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Étape 6.9.2

Réécrivez l’expression.

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Étape 11.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $- 3 y^{3} + x - x$ .

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Étape 12.1.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $- 3 y^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 3 y^{3}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

Étape 13.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ comme $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

Étape 13.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $y^{4}$ et $\frac{3}{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

Étape 15.2

Déplacez $3$ à gauche de $y^{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$