Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 d y}{d x} + y = 3$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + y = 3$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2} d y$ , donc $- 2 d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} - \frac{y}{2}]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Étape 2.2.1.1.2.2

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{3}{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- \frac{y}{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.1.4

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d x$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d x$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 2}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{2}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{2}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- 2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$- 2 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)$ par $1$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.2.2

Associez $y$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |)} = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} = | \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $\frac{3}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2}$

Étape 3.4.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Étape 3.4.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.5.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Étape 3.4.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Étape 3.4.5.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Étape 3.4.5.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Étape 3.4.5.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Étape 3.4.5.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.4.5.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Étape 3.4.5.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Étape 3.4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.5.2.1

Simplifiez $- 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$ .

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Étape 3.4.5.2.1.1

Pour écrire $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Étape 3.4.5.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.5.2.1.2.1

Associez $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 (\frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Étape 3.4.5.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - 2 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 3.4.5.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.5.2.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = 2 (- 1) \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 3.4.5.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 3.4.5.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = - ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3)$

Étape 3.4.5.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - 3)$

Étape 3.4.5.2.1.4

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.4.5.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}})) - - 3$

Étape 3.4.5.2.1.4.2

Multipliez.

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Étape 3.4.5.2.1.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - - 3$

Étape 3.4.5.2.1.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) + 3$

Étape 3.4.6

Remettez dans l’ordre $- \frac{x}{2}$ et $- \frac{C}{2}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{2} - \frac{x}{2}}) + 3$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - 2 (\pm e^{C - \frac{x}{2}}) + 3$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} + C}) + 3$

Étape 4.3

Réécrivez $e^{- \frac{x}{2} + C}$ comme $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}) + 3$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{x}{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

Étape 4.5

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = - 2 (C e^{- \frac{x}{2}}) + 3$