Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{4} d x + (y^{2} + 2) e^{x} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x y^{4} d x$ des deux côtés de l’équation.

$(y^{2} + 2) e^{x} d y = - x y^{4} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{x} y^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} y^{4}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Étape 3.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $(y^{2} + 2) e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Étape 3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{4}} (y^{2} + 2) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y^{4}}$ par $y^{2} + 2$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e^{x} y^{4}}$ dans le numérateur.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y^{4}$ à partir de $e^{x} y^{4}$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (x y^{4}) d x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y^{4}$ à partir de $x y^{4}$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

Étape 3.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 1}{e^{x}}$ et $x$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1.1

Retirez $y^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (y^{2} + 2) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $(y^{2} + 2) y^{- 4}$ .

$\int y^{2} y^{- 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $y^{- 4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{2 - 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.3.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\int y^{- 2} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{- 2} d y + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 4}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.8

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Étape 4.2.8.1

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Étape 4.2.8.1.1

Associez $y^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.8.1.2

Placez $y^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.8.2

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.8.3

Simplifiez

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Étape 4.2.8.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{y} - 2 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.8.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{- 2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.2.8.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Inversez l’exposant de $e^{x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Étape 4.3.2.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- x} d x$

Étape 4.3.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Étape 4.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Étape 4.3.6

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.6.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.6.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.3.6.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.3.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.3.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 4.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$

Étape 4.3.9

Réécrivez $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$ comme $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{4}$

Étape 4.3.11

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Étape 4.3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

Étape 4.3.11.2

Multipliez $- (- x e^{- x})$ .

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Étape 4.3.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

Étape 4.3.11.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{4}$

Étape 4.3.11.3

Multipliez $- - e^{- x}$ .

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Étape 4.3.11.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{4}$

Étape 4.3.11.3.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{4}$

Étape 4.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} = e^{- x} x + e^{- x} + K$