Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 4$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 2 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} \cdot 4$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} \cdot 4$

Étape 2.3

Déplacez $4$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 \cdot e^{- 2 x}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 4 e^{- 2 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 4 e^{- 2 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 4 e^{- 2 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{- 2 x} d x$

Étape 6.2

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.2.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 6.3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 4 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = 4 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 6.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 6.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- 2 x} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 \int e^{u} d u$

Étape 6.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u} + C)$

Étape 6.9

Simplifiez

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u} + C$

Étape 6.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + C$ par $e^{- 2 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + C$ par $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 x}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$y = - 2 + \frac{C}{e^{- 2 x}}$