Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = 10 t + 9 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (10 t + 9 t^{2}) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 10 t d t + \int 9 t^{2} d t$

Étape 2.3.2

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 10 \int t d t + \int 9 t^{2} d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 9 t^{2} d t$

Étape 2.3.4

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 \int t^{2} d t$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.1

Associez $10$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{5}{1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Associez $9$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{9}{3} t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3} t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3}{1} t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 3 t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = 3 t^{3} + 5 t^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $1$ et $y$ par $2$ dans $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ .

$2 = 3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Étape 4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 + 5 \cdot 1 + K = 2$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$3 + 5 + K = 2$

Étape 4.2.2

Additionnez $3$ et $5$ .

$8 + K = 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$K = 2 - 8$

Étape 4.3.2

Soustrayez $8$ de $2$ .

$K = - 6$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 6$ dans $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 6$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} - 6$