Calcul infinitésimal Exemples

$(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 4 y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 4 y$ par $1 - x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 4 y$ par $1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 - x^{2}} = \frac{4 y}{1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 - x^{2}} = \frac{4 y}{1 - x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 - x^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1^{2} - x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.3.2

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.3.2.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.3.2.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Étape 2.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 2.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 2.3.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 2.3.2.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.6.1.2

Divisez $(A) (1 - x)$ par $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.6.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.6.5

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 2.3.2.1.6.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 2.3.2.1.6.5.2

Divisez $(B) (1 + x)$ par $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Étape 2.3.2.1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Étape 2.3.2.1.6.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Étape 2.3.2.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1.7.1

Déplacez $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Étape 2.3.2.1.7.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Étape 2.3.2.1.7.3

Déplacez $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Étape 2.3.2.1.7.4

Déplacez $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Étape 2.3.2.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.3.2.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.3.2.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 2.3.2.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Étape 2.3.2.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.3.2.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = A + B$ .

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Étape 2.3.2.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.3.2.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Étape 2.3.2.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1 - B$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.2.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 1 A + B$ par $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.2.2.1

Simplifiez $- 1 (1 - B) + B$ .

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Étape 2.3.2.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1 (- B)$ .

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Étape 2.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - 1 + 2 B$ .

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Étape 2.3.2.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.3.3

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.2.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.2.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 1 - B$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.4.2.1

Simplifiez $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Étape 2.3.2.3.4.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3.4.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3.4.2.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 2.3.2.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 2.3.2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Étape 2.3.2.5.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Étape 2.3.5

Laissez $u_{1} = 1 + x$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u_{1} = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.3.5.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Étape 2.3.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Étape 2.3.8

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.8.1

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.8.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.8.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Étape 2.3.11

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{3})))$

Étape 2.3.12

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C_{4}$

Étape 2.3.13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C_{4}$

Étape 2.3.13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Étape 2.3.14

Simplifiez

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Étape 2.3.14.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.14.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.14.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.14.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (2) \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.14.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \cdot 2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.14.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) = C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) - 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) - \ln ({(\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}^{2}) = C$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\ln (| y |) - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{2}}{{| 1 - x |}^{2}}) = C$

Étape 3.2.1.1.3

Retirez la valeur absolue dans ${| 1 + x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{{(1 + x)}^{2}}{{| 1 - x |}^{2}}) = C$

Étape 3.2.1.1.4

Retirez la valeur absolue dans ${| 1 - x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) = C$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}) = C$

Étape 3.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (| y | \frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Étape 3.2.1.4

Associez $| y |$ et $\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ .

$\ln (\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de ${(1 + x)}^{2}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | {(1 - x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $| y | {(1 - x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$ par ${(1 - x)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1.1

Divisez chaque terme dans $| y | {(1 - x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$ par ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.1.2.1

Annulez le facteur commun de ${(1 - x)}^{2}$ .

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Étape 3.5.4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.2.1.2

Divisez $| y |$ par $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{C {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$