Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$ , $y (- 3) = 7$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \cot (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \cot (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $- 3$ et $y$ par $7$ dans $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$7 = \ln (| \sin (- 3) |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (| \sin (- 3) |) + C = 7$ .

$\ln (| \sin (- 3) |) + C = 7$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Évaluez $\sin (- 3)$ .

$\ln (| - 0.05233595 |) + C = 7$

Étape 4.2.1.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 0.05233595$ et $0$ est $0.05233595$ .

$\ln (0.05233595) + C = 7$

Étape 4.3

Soustrayez $\ln (0.05233595)$ des deux côtés de l’équation.

$C = 7 - \ln (0.05233595)$

Étape 5

Remplacez $C$ par $7 - \ln (0.05233595)$ dans $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $7 - \ln (0.05233595)$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + 7 - \ln (0.05233595)$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \sin (x) |}{0.05233595}) + 7$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Multipliez par $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.05233595}) + 7$

Étape 5.3.2

Factorisez $0.05233595$ à partir de $0.05233595$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.05233595 (1)}) + 7$

Étape 5.3.3

Séparez les fractions.

$y = \ln (\frac{1}{0.05233595} \cdot \frac{| \sin (x) |}{1}) + 7$

Étape 5.3.4

Divisez $1$ par $0.05233595$ .

$y = \ln (19.1073226 \frac{| \sin (x) |}{1}) + 7$

Étape 5.3.5

Divisez $| \sin (x) |$ par $1$ .

$y = \ln (19.1073226 | \sin (x) |) + 7$