Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x + y^{3}) d x + (3 x y^{2} - e^{2 y}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y^{3}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.3

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x y^{2} - e^{2 y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} - e^{2 y}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y^{2} - e^{2 y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- e^{2 y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{2 y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 y^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 y^{2}$ .

$3 y^{2} = 3 y^{2}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 y^{2} = 3 y^{2}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + y^{3} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y^{3} d x$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y^{3} d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{3} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Étape 8.2.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{3} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Étape 8.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Additionnez $0$ et $3 x y^{2}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Étape 8.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $3 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$ .

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Étape 9.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 x y^{2}$ et $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

Étape 9.1.2.2

Soustrayez $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - e^{2 y}$

Étape 9.1.2.3

Soustrayez $e^{2 y}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- e^{2 y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{2 y} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{2 y} d y$

Étape 10.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int e^{2 y} d y$

Étape 10.4

Laissez $u = 2 y$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.4.1

Laissez $u = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 10.4.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 10.4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 10.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 10.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 10.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 10.7

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 10.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Étape 10.9

Simplifiez

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

Étape 10.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

Étape 12

Associez $e^{2 y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{e^{2 y}}{2} + C$