Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x^{2} - y e^{x}) d x - e^{x} d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x^{2} - y e^{x}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} - y e^{x}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - y e^{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Étape 1.2.2

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y e^{x}$ par rapport à $y$ est $- e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x}$

Étape 1.4

Soustrayez $e^{x}$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{x}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - e^{x}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{x}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- e^{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- e^{x}$ .

$- e^{x} = - e^{x}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- e^{x} = - e^{x}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{x} d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = - e^{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - e^{x} y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y + g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- e^{x} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{x} y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x} y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - e^{x} y = 2 x^{2} - y e^{x}$

Étape 8.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} - e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y e^{x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $y e^{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$ .

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Étape 9.1.2.1

Additionnez $- y e^{x}$ et $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2 x^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{2} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{2} d x$

Étape 10.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 \int x^{2} d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 10.5.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{2}{3} x^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$ .

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Étape 12.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

Étape 12.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = - y e^{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$