Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{y} = 4 y \frac{d y}{d x}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Inversez les côtés pour obtenir $\frac{d y}{d x}$ du côté gauche.

$4 y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = x^{2}$

Étape 1.4

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y \cdot 4 y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y \cdot 4 y d y = x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y \cdot 4 y d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\int 4 \cdot y \cdot y d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.1.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (y^{1} y) d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.1.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (y^{1} y^{1}) d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 y^{1 + 1} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 4 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ comme $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.4.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{4}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3}) = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y^{3}}{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Associez.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.4.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{4} K$

Étape 3.2.2.1.3

Associez.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} K$

Étape 3.2.2.1.4

Associez $\frac{3}{4}$ et $K$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Étape 3.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Étape 3.2.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.4.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 3.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 3.4.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 3.4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Étape 3.4.5.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

Étape 3.4.5.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Étape 3.4.5.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Étape 3.4.5.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$

Étape 3.4.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + 3 K)}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + K)}}{2}$