Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ comme $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2}}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$

Étape 6.2

Simplifiez $C e^{\frac{0^{2}}{2}}$ .

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Étape 6.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$C e^{\frac{0}{2}} = 1$

Étape 6.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$C e^{0} = 1$

Étape 6.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$C \cdot 1 = 1$

Étape 6.2.4

Multipliez $C$ par $1$ .

$C = 1$

Étape 7

Remplacez $C$ par $1$ dans $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $1$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 7.2

Multipliez $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}}$