Calcul infinitésimal Exemples

Solve $\frac{d y}{d x} = (2 - y) \sin (x)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \sin (x))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2 - y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2 - y$ à partir de $(2 - y) \sin (x)$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) (\sin (x)))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \sin (x))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 - y} d y = \sin (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = - \cos (x) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 2 - y |) = - \cos (x) + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 2 - y |) = - \cos (x) + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{- \cos (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{- \cos (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\ln (| 2 - y |)$ par $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \cos (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \cos (x) + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = \cos (x) - 1 \cdot C$

Étape 3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| 2 - y |) = \cos (x) - C$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 - y |)} = e^{\cos (x) - C}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 2 - y |) = \cos (x) - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\cos (x) - C} = | 2 - y |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 - y | = e^{\cos (x) - C}$ .

$| 2 - y | = e^{\cos (x) - C}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 - y = \pm e^{\cos (x) - C}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \pm e^{\cos (x) - C} - 2$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{\cos (x) - C} - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{\cos (x) - C} - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{\cos (x) - C}) + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm e^{\cos (x) - C})$ comme $- (\pm e^{\cos (x) - C})$ .

$y = - (\pm e^{\cos (x) - C}) + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.1.3

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - (\pm e^{\cos (x) - C}) + 2$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - (\pm e^{\cos (x) + C}) + 2$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{\cos (x) + C}$ comme $e^{\cos (x)} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\cos (x)} e^{C}) + 2$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{\cos (x)}$ et $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\cos (x)}) + 2$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = - (C e^{\cos (x)}) + 2$