Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $1 + y$ .

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(1 + y) d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 1 + y d y = \int x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int y d y = \int x d x$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int y d y = \int x d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$y + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x$

Étape 2.2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{2}}{2} + K$

Étape 3.3

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} = K$

Étape 3.3.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Étape 3.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} + 2 y - x^{2} - 2 K = 0$

Étape 3.4.3

Déplacez $2 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Étape 3.4.4

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Étape 3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - x^{2} - 2 K$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 + 4 x^{2} + 8 K$ .

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Étape 3.7.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $8 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.7

Réécrivez $4 (1 + x^{2} + 2 K)$ comme $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)$ .

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Étape 3.7.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.7.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K}$