Calcul infinitésimal Exemples

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

Étape 1.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x (2 x^{2} + y^{2})$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 1.4

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

Étape 1.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

Étape 2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y (x^{2} + 2 y^{2})$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Étape 2.5

Comme $2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Étape 2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Étape 2.6.3

Réorganisez les facteurs de $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x y$ .

$2 x y = 2 x y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x y = 2 x y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Développez $x (2 x^{2} + y^{2})$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

Étape 5.1.2

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

Étape 5.1.3

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

Étape 5.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

Étape 5.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

Étape 5.1.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Étape 5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

Étape 5.5

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

Étape 5.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.7

Simplifiez

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.8

Simplifiez

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Étape 5.8.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.8.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5.8.3

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Étape 5.8.4

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Étape 5.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.2.2

Comme $\frac{1}{2} x^{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.3.3

Comme $\frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.3.5

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.3.6

Associez $\frac{2 x^{2}}{2}$ et $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.3.7.2

Divisez $x^{2} y$ par $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Additionnez $0$ et $x^{2} y$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 8.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez $y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Étape 9.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 9.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 9.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

Étape 9.1.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

Étape 9.1.1.5

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.1.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

Étape 9.1.1.5.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 9.1.1.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

Étape 9.1.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

Étape 9.1.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

Étape 9.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

Étape 9.1.2.2

Associez les termes opposés dans $y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ .

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Étape 9.1.2.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y x^{2}$ et $- x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

Étape 9.1.2.2.2

Soustrayez $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

Étape 9.1.2.2.3

Additionnez $2 y^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2 y^{3}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

Étape 10.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ comme $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Étape 12.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Étape 12.3

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$