Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x^{2} + 7 y^{2}) d x + 14 x (y d) y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x^{2} + 7 y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 7 y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 7 y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$

Étape 1.2.2

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [7 y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $7 y^{2}$ par rapport à $y$ est $7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 7 (2 y)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 14 y$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $14 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 14 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 14 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [14 x y]$

Étape 2.2

Comme $14 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x y$ par rapport à $x$ est $14 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $14$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $14 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $14 y$ .

$14 y = 14 y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$14 y = 14 y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 14 x y d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = 14 x y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $14 x$ est constant par rapport à $y$ , placez $14 x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 14 x \int y d y$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 5.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Associez $14$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{14}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.2

Associez $x$ et $\frac{14}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot 14}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.3

Déplacez $14$ à gauche de $x$ .

$f (x, y) = \frac{14 \cdot x}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.4

Multipliez $14$ par $x$ .

$f (x, y) = \frac{14 x}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.5

Annulez le facteur commun à $14$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $14 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{7 x}{1} y^{2} + C$

Étape 5.3.2.5.2.4

Divisez $7 x$ par $1$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x y^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $7 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $7 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Étape 8.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$7 y^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 7 y^{2} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $7 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 7 y^{2} - 7 y^{2}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} + 7 y^{2} - 7 y^{2}$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $7 y^{2}$ de $7 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $3 x^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Étape 10.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Étape 10.5.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = 7 x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + x^{3} + C$