Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = (6 + x) (2 + y)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} ((6 + x) (2 + y))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2 + y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2 + y$ à partir de $(6 + x) (2 + y)$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} ((2 + y) (6 + x))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} ((2 + y) (6 + x))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = 6 + x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 + y} d y = (6 + x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 + y} d y = \int 6 + x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 + y$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 6 + x d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 6 + x d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + y$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int 6 + x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int 6 d x + \int x d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 6 x + C_{2} + \int x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 6 x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 6 x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 2 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| 2 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + C} = | 2 + y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + C}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + 6 x + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 6 x + C}$

Étape 3.3.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 6 x + C} - 2$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{x^{2}}{2} + 6 x + C}$ comme $e^{\frac{x^{2}}{2} + 6 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 6 x} e^{C} - 2$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{x^{2}}{2} + 6 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + 6 x} - 2$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + 6 x} - 2$