Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + x e^{x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $x e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{x}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = - x e^{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - x e^{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - x e^{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - (x e^{x} - e^{x}) + K$