Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = e^{4 x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{3} d y = e^{4 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{3} d y = \int e^{4 x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{4 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Étape 2.3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{4 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{4} e^{4 x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{e^{4 x}}{4} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{4} = e^{4 x} + 4 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$