Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $2$ dans $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ .

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ .

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{0^{3} + K}$ comme ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.3

Additionnez $0$ et $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.4

Simplifiez

$K = 2^{3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$K = 8$

Étape 7

Remplacez $K$ par $8$ dans $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $8$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

Étape 7.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

Étape 7.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

Étape 7.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$