Calcul infinitésimal Exemples

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Laissez $v = \frac{d y}{d x}$ . Puis $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $v$ et $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ par $\frac{d v}{d x}$ pour obtenir une équation différentielle avec la variable dépendante $v$ et la variable indépendante $x$ .

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Résolvez $\frac{d v}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $v$ des deux côtés de l’équation.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

Étape 2.1.2

Divisez chaque terme dans $4 \frac{d v}{d x} = - v$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \frac{d v}{d x} = - v$ par $4$ .

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{v}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

Étape 3.2

L’intégrale de $\frac{1}{v}$ par rapport à $v$ est $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

Étape 3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

Étape 4

Résolvez $v$ .

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Étape 4.1

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Étape 4.2

Réécrivez $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

Étape 4.3

Résolvez $v$ .

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Étape 4.3.2

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Étape 4.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Réécrivez $e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ comme $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{x}{4}}$ et $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 5.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 7

Réécrivez l’équation.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Étape 8

Intégrez les deux côtés.

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Étape 8.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Étape 8.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Comme $C_{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $C_{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

Étape 8.3.2

Laissez $u = - \frac{x}{4}$ . Alors $d u = - \frac{1}{4} d x$ , donc $- 4 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.3.2.1

Laissez $u = - \frac{x}{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Différenciez $- \frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

Étape 8.3.2.1.2

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 8.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 8.3.3

Simplifiez

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Étape 8.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Étape 8.3.3.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Étape 8.3.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

Étape 8.3.3.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

Étape 8.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

Étape 8.3.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

Étape 8.3.6

Simplifiez

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

Étape 8.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

Étape 8.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

Étape 8.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

Étape 8.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$