Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 8$ , $y (- 1) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (8 x + 8) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 8 x + 8 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 8 x + 8 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 8 x d x + \int 8 d x$

Étape 2.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 8 \int x d x + \int 8 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 8 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 8 x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 8 x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$y + C_{1} = 4 x^{2} + 8 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 4 x^{2} + 8 x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $- 1$ et $y$ par $0$ dans $y = 4 x^{2} + 8 x + K$ .

$0 = 4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K = 0$ .

$4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez $4 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 \cdot 1 + 8 \cdot - 1 + K = 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 8 \cdot - 1 + K = 0$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$4 - 8 + K = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$- 4 + K = 0$

Étape 4.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 4$

Étape 5

Remplacez $K$ par $4$ dans $y = 4 x^{2} + 8 x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $4$ .

$y = 4 x^{2} + 8 x + 4$