Calcul infinitésimal Exemples

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

Étape 1.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + 4 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.4

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $2 y x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

Étape 2.5.2

Réorganisez les facteurs de $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x y$ .

$0 = 2 x y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$0 = 2 x y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x y$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x^{2} y + 4 y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x^{2} y + 4 y$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $2 x y$ de $0$ .

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y + 4 y$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

Étape 4.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

Étape 5.4

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.4.1

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.4.1.1

Différenciez $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 5.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 5.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 5.4.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 5.4.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 5.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Étape 5.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Étape 5.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Étape 5.9

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Étape 5.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

Étape 5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.11.1

Simplifiez $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

Étape 5.11.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

Étape 5.11.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x$ par $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x^{2} y + 4 y$ par $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x^{2} y + 4 y$ par $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Étape 6.5

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y + 4 y$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

Étape 6.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 4$ .

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Étape 6.6.2

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Étape 11.3

Comme $\frac{1}{2} y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Étape 11.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Étape 12

Déterminez la primitive de $\frac{x}{x^{2} + 4}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 12.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Étape 12.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Étape 12.3

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 12.3.1

Laissez $u = x^{2} + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 12.3.1.1

Différenciez $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 12.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 12.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 12.3.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 12.3.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 12.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 12.4

Simplifiez

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Étape 12.4.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 12.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Étape 12.4.3

Multipliez $2$ par $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 12.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Étape 12.7

Simplifiez

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Étape 12.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Étape 13

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Étape 14

Simplifiez $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ .

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Étape 14.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 14.2

Pour écrire $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 14.3

Associez $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 14.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.5.1

Multipliez $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Étape 14.5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ et $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Étape 14.5.1.2

Simplifiez $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Étape 14.5.2

Multipliez les exposants dans ${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 14.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Étape 14.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Étape 14.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

Étape 14.5.3

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$