Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} (1 + y)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (\frac{1 + x}{x} (1 + y))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $1 + y$ à partir de $\frac{1 + x}{x} (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 + y$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = x + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| x |) = x + C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| 1 + y |}{| x |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 + y | = e^{x + C} | x |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x + C} | x |$ .

$| 1 + y | = | x | e^{x + C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm | x | e^{x + C}$

Étape 3.5.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | x | e^{x + C}$ .

$1 + y = \pm e^{x + C} | x |$

Étape 3.5.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{x + C} | x | - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{x + C}$ comme $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C} | x | - 1$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x} | x | - 1$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{x} | x | - 1$