Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y^{3} + 1) d x + (3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + 1]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y^{3} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y^{3}$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $6 x y^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2}$

Étape 1.5.2

Réorganisez les facteurs de $6 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}]$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $- \frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $6 y^{2} x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 y^{2} x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 y^{2} x$ .

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} + 1 d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} d x + \int d x$

Étape 5.2

Comme $2 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 y^{3}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 y^{3} \int x d x + \int d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2} + x + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} x^{2} + x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{3} x^{2}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Étape 8.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Étape 8.4

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Additionnez $3 x^{2} y^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$

Étape 9.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 9.1.2.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Étape 9.1.2.2.1

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y} + 0$

Étape 9.1.2.2.2

Additionnez $- \frac{1}{y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- \frac{1}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Étape 10.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Étape 10.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Étape 10.5

Simplifiez

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x - \ln (| y |) + C$