Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 8 x^{2}$ . Alors $d u = 16 x d x$ , donc $\frac{1}{16} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 8 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $8$ dans $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ .

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

Étape 4.2.1.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

Étape 4.2.1.1.4

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $0$ .

$0 + K = 8$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 8$

Étape 5

Remplacez $K$ par $8$ dans $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $8$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{16}$ et $\sin (8 x^{2})$ .

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$