Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{4} + 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{4} + 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{3}$ par rapport à $x$ est $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.4

Comme $2 y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

Étape 2.6

Additionnez $y^{3}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 y^{3} + 2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y^{3} - 4$ .

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y^{3} - 4$ .

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 y^{3} + 2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y^{4} + 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y^{4} + 2 y$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $4 y^{3}$ de $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

Étape 4.3.2.5

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

Étape 4.3.2.6

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y^{3} - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

Étape 4.3.2.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

Étape 4.3.2.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{4} + 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- y^{3} - 2$ et $y^{3} + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $- (y^{3} + 2)$ comme $- 1 (y^{3} + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Étape 4.3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Étape 4.3.6

Remplacez $M$ par $y^{4} + 2 y$ .

$- \frac{3}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Simplifiez $- 3 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $y^{4} + 2 y$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y^{4} + 2 y$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{4} + 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{4}$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

Étape 8.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Associez $\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

Étape 8.2.2

Réécrivez $\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ comme $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y^{3} x + 2 x$ et $g (y) = y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} x + 2 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{3} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.5

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.7

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.8

Additionnez $3 x y^{2}$ et $0$ .

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.9

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.9.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.9.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.10

Déplacez $3$ à gauche de $y^{4}$ .

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.12

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.13

Factorisez $y$ à partir de $3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.13.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y^{4} x$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.13.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.13.3

Factorisez $y$ à partir de $y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.14

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.14.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{4}$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.3.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.5.2.2

Soustrayez $2 y^{3} x$ de $3 y^{3} x$ .

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.5.2.3

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.5.2.4

Pour écrire $\frac{d g}{d y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.5.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

Étape 12.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.2.1

Soustrayez $y^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

Étape 12.1.2.2

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Étape 12.1.2.3

Associez les termes opposés dans $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.2.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x y^{3}$ et $- y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Étape 12.1.2.3.2

Soustrayez $y^{3} x$ de $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

Étape 12.1.2.3.3

Additionnez $2 y^{4} - 4 x$ et $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

Étape 12.1.2.3.4

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

Étape 12.1.2.3.5

Additionnez $2 y^{4}$ et $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

Étape 12.1.3

Divisez chaque terme dans $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ par $y^{3}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.1

Divisez chaque terme dans $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ par $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Étape 12.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Étape 12.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d g}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Étape 12.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.3.1

Annulez le facteur commun à $y^{4}$ et $y^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.3.1.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

Étape 12.1.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Étape 12.1.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Étape 12.1.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

Étape 12.1.3.3.1.2.4

Divisez $2 y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Étape 13

Déterminez la primitive de $2 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Étape 13.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 \int y d y$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Étape 13.5.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Factorisez $x$ à partir de $y^{3} x + 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Factorisez $x$ à partir de $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Étape 15.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

Étape 15.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x y^{3} + x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

Étape 15.2

Pour écrire $y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Étape 15.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Étape 15.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Étape 15.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Étape 15.4.3

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

Étape 15.4.3.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$