Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y \sin (x)$ où $f (2 π) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y \sin (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin (x)))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \sin (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin (x) d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \cos (x) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \cos (x) + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - \cos (x) + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \cos (x) + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- \cos (x) + C}$ .

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \cos (x) + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- \cos (x) + C}$ comme $e^{- \cos (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \cos (x)} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \cos (x)}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \cos (x)}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- \cos (x)}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $2 π$ et $y$ par $1$ dans $y = C e^{- \cos (x)}$ .

$1 = C e^{- \cos (2 π)}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C e^{- \cos (2 π)} = 1$ .

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$C e^{- \cos (0)} = 1$

Étape 6.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$C e^{- 1 \cdot 1} = 1$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$C e^{- 1} = 1$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $C e^{- 1} = 1$ par $e^{- 1}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $C e^{- 1} = 1$ par $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 1}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Placez $e^{- 1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

Étape 7

Remplacez $C$ par $e$ dans $y = C e^{- \cos (x)}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $e$ .

$y = e e^{- \cos (x)}$

Étape 7.2

Multipliez $e$ par $e^{- \cos (x)}$ .

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Étape 7.2.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$y = e^{1} e^{- \cos (x)}$

Étape 7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = e^{1 - \cos (x)}$