Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d f}{d x} = - 5 x^{2} - 5 e^{x}$ , $f (0) = - 16$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d f = (- 5 x^{2} - 5 e^{x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d f = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = - 5 \int x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 e^{x} d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int e^{x} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (e^{x} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{- 5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f + C_{1} = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $f$ par $- 16$ dans $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ .

$- 16 = - \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$

Étape 4.2

Simplifiez $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 (\frac{5}{3}) - 5 e^{0} + K = - 16$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{5}{3}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Étape 4.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 16$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5 + K = - 16$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5 + K = - 16$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$K = - 16 + 5$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 16$ et $5$ .

$K = - 11$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 11$ dans $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 11$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} - 11$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{5}{3}$ .

$f = - \frac{x^{3} \cdot 5}{3} - 5 e^{x} - 11$

Étape 5.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{3}$ .

$f = - \frac{5 x^{3}}{3} - 5 e^{x} - 11$