Calcul infinitésimal Exemples

$(2 + x) \frac{d y}{d x} - x y = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - x y = 0$

Étape 1.1.2

Ajoutez $x y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} = x y$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $2 \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $2 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 2 + x \frac{d y}{d x} = x y$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 2 + \frac{d y}{d x} x = x y$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} \cdot 2 + \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{d y}{d x} (2 + x) = x y$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (2 + x) = x y$ par $2 + x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (2 + x) = x y$ par $2 + x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (2 + x)}{2 + x} = \frac{x y}{2 + x}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2 + x$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (2 + x)}{2 + x} = \frac{x y}{2 + x}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{2 + x}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x} y$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{2 + x} y)$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{x}{2 + x} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{2 + x})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{2 + x})$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{2 + x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{2 + x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Remettez dans l’ordre $2$ et $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Étape 2.3.2

Divisez $x$ par $x + 2$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Étape 2.3.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Étape 2.3.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Étape 2.3.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Étape 2.3.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Étape 2.3.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

Étape 2.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2.3.8

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.8.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.8.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.8.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3})$

Étape 2.3.10

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| u |) + C_{4}$

Étape 2.3.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |) = x + C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |)$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x + 2 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 2 |}^{2}) = x + C$

Étape 3.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x + 2 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x + C$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x + C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ .

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ par ${(x + 2)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ par ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Divisez $| y |$ par $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{x + C}$ comme $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$