Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

Étape 1

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

Étape 2

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 3

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 4

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

Étape 5

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 5.1

Séparez les variables.

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Étape 5.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 5.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

Étape 5.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V + 2 - V$ .

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Étape 5.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

Étape 5.1.1.1.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2$

Étape 5.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = 2$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = 2$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Étape 5.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Étape 5.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’équation.

$d V = \frac{2}{x} d x$

Étape 5.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 5.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 5.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$V = 2 \ln (| x |) + C$

Étape 6

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Étape 7

Résolvez $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ pour $y$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $(2 \ln (| x |) + C) x$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

Étape 7.2.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Étape 7.2.2.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 7.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Étape 7.2.2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.1.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Étape 7.2.2.1.2.2.2

Remettez dans l’ordre $x \ln (x^{2})$ et $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2})$