Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x + x^{3} + 3 y) d x + (3 x + 2 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x + x^{3} + 3 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x^{3} + 3 y]$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + x^{3} + 3 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Étape 1.2.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Étape 1.2.3

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3$

Étape 1.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

Étape 1.4.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x + 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x + 2 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3$ .

$3 = 3$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 = 3$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x + 2 y d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = 3 x + 2 y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 3 x d y + \int 2 y d y$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 3 x y + C + \int 2 y d y$

Étape 5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 \int y d y$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = 3 x y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 5.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 5.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 3 x y + 1 y^{2} + C$

Étape 5.6.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} + g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y + y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Étape 8.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Étape 8.4

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Étape 8.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1

Additionnez $3 y$ et $0$ .

$3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 2 x + x^{3} + 3 y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1

Soustrayez $3 y$ de $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $2 x + x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2 x + x^{3}$ afin de déterminer $g (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + x^{3} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + x^{3} d x$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int 2 x d x + \int x^{3} d x$

Étape 10.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 \int x d x + \int x^{3} d x$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{3} d x$

Étape 10.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 10.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 10.8

Simplifiez

$g (x) = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 12

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$