Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

Étape 1

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $y = e^{r x}$ .

Étape 2

Déterminez l’équation caractéristique pour $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Étape 2.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Étape 2.4

Factorisez $e^{r x}$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Étape 2.4.2

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $- 4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

Étape 2.4.3

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ .

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

Étape 2.5

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r x}$ .

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{- x} + 4$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{- x}$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (e^{- x}) + 4 (1)$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $4 (e^{- x} + 1)$ comme $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ .

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

Étape 3.3.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

Étape 3.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Étape 4

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

Étape 5

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$