Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + \frac{4}{x}$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (5 x^{2} + \frac{4}{x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{4}{x} d x$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$1 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $0$ .

$0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Étape 4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$0 + 4 \ln (0) + C = 1$

Étape 4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$