Calcul infinitésimal Exemples

$x y d y = (x^{2} + y^{2}) d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(x^{2} + y^{2}) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x y d y - (x^{2} + y^{2}) d x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez.

$- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + y^{2})]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (x^{2} + y^{2})$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 2.4

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x y$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y$ .

$- 2 y = y$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 y = y$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y$ .

$\frac{- 2 y - y}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x y$ .

$\frac{- 2 y - y}{x y}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{- 3 y}{x y}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y}{x y}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{x}$

Étape 5.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Étape 6.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 3 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- (x^{2} + y^{2})$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $- x^{2} - y^{2}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- x^{2} - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.7

Réécrivez $- (x^{2} + y^{2})$ comme $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.9

Multipliez $x y$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7.10

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.10.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7.10.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Étape 7.10.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Étape 7.10.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 7.11

Associez $y$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y}{x^{2}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $\frac{1}{x^{2}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{x^{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int y d y$

Étape 9.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 9.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Étape 9.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Étape 9.3.2.3

Multipliez $2$ par $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Étape 9.3.2.4

Associez $\frac{1}{2 x^{2}}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $\frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 12.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.10

Associez $- 2$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.11

Associez $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ et $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{2} x^{- 3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.12

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.13

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 12.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 (x^{3})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1.1

Ajoutez $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.3

Associez les termes opposés dans $- y^{2} + x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 13.1.1.3.1

Additionnez $- y^{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} + 0}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2}}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 13.1.1.4.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.1.4.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

Étape 13.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

Étape 13.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Étape 13.1.2

Soustrayez $\frac{1}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- \frac{1}{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 14.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Étape 14.5

Simplifiez

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - \ln (| x |) + C$