Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} - 4 x y = 5 x$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $4 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2 (1)}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 x y}{1}$

Étape 1.1.2.3.1.2.4

Divisez $2 x y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + 2 x y$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{5 x}{2} + 2 x y$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{5 x}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5}{2} + 2 x y$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5}{2} + x (2 y)$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \frac{5}{2} + x (2 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + 2 y)$

Étape 1.2.2

Pour écrire $2 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + 2 y \cdot \frac{2}{2})$

Étape 1.2.3

Associez $2 y$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + \frac{2 y \cdot 2}{2})$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 + 2 y \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 + 4 y}{2}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{2}{5 + 4 y}$ .

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} (x \frac{5 + 4 y}{2})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez $x$ et $\frac{5 + 4 y}{2}$ .

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} \cdot \frac{x (5 + 4 y)}{2}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} \cdot \frac{x (5 + 4 y)}{2}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} (x (5 + 4 y))$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $5 + 4 y$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $5 + 4 y$ à partir de $x (5 + 4 y)$ .

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} ((5 + 4 y) x)$

Étape 1.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} ((5 + 4 y) x)$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{2}{5 + 4 y} d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2}{5 + 4 y} d y = \int x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{5 + 4 y} d y = \int x d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = 5 + 4 y$ . Alors $d u = 4 d y$ , donc $\frac{1}{4} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = 5 + 4 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $5 + 4 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 + 4 y]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 4 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [4 y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [4 y]$

Étape 2.2.2.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [4 y]$

Étape 2.2.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$0 + 4$

Étape 2.2.2.1.4

Additionnez $0$ et $4$ .

$4$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int x d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int x d x$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$2 \int \frac{1}{4 u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.5.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 + 4 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 5 + 4 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 5 + 4 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 5 + 4 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 5 + 4 y |) = x^{2} + 2 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 5 + 4 y |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 5 + 4 y |) = x^{2} + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 5 + 4 y |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 5 + 4 y | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 5 + 4 y | = e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$5 + 4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} - \frac{5}{4}$

Étape 3.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 5}{4}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + C} - 5}{4}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{x^{2} + C}$ comme $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 5}{4}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 5}{4}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C e^{x^{2}} - 5}{4}$