Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = 1 + t - x - t x$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) - x - t x$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d x}{d t} = 1 (1 + t) - x (1 + t)$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $1 + t$ .

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) (1 - x)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 + t) (1 - x))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $1 - x$ à partir de $(1 + t) (1 - x)$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = 1 + t$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 - x} d x = (1 + t) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 - x} d x = \int 1 + t d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 1 + t d t$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int d t + \int t d t$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \int t d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 1 - x |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\ln (| 1 - x |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - x |) = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2})$ comme $- (\frac{1}{2} t^{2})$ .

$\ln (| 1 - x |) = - (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{t}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - 1 \cdot t + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot t$ comme $- t$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.6

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - 1 \cdot C$

Étape 3.1.3.1.7

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$

Étape 3.2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 - x |)} = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} = | 1 - x |$

Étape 3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Pour écrire $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.2

Pour écrire $\frac{- 1}{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.4.3.3.1

Multipliez $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3.3

Multipliez $\frac{- 1}{- 1}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{- - 1}$

Étape 3.4.4.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1 - - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.2

Réécrivez $- 1 (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ comme $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.6

Divisez $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$ par $1$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}) + 1$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}$ comme $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}) + 1$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}$ et $e^{C}$ .

$x = - (\pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$x = - (C e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$