Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d P}{d t} = 2 e^{3 t}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d P = 2 e^{3 t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d P = \int 2 e^{3 t} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$P + C_{1} = \int 2 e^{3 t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$P + C_{1} = 2 \int e^{3 t} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 3 t$ . Alors $d u = 3 d t$ , donc $\frac{1}{3} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 3 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$P + C_{1} = 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$P + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$P + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{3 t} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$P = \frac{2}{3} e^{3 t} + K$