Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 3 y$ , $y (0) = \frac{1}{3}$

Étape 1

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 3$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 3 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{3 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{3 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x)$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Étape 7.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Étape 7.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Étape 7.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Étape 7.5

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.5.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.5.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 7.5.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Étape 7.6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Étape 7.7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Étape 7.8.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Étape 7.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Étape 7.10

Réécrivez $2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ comme $2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Étape 7.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $e^{3 x}$ et $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Étape 8.1.2

Supprimez les parenthèses.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ par $e^{3 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ par $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.1.1.1

Factorisez $e^{3 x}$ à partir de $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1.1

Factorisez $e^{3 x}$ à partir de $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.1.2

Factorisez $e^{3 x}$ à partir de $- \frac{e^{3 x}}{9}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.1.3

Factorisez $e^{3 x}$ à partir de $e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9})$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.3

Pour écrire $\frac{x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.1.1.4.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{9} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{x \cdot 3 - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{3 x - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.7

Associez les exposants.

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Étape 8.2.3.1.1.7.1

Associez $\frac{3 x - 1}{9}$ et $2$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.7.2

Associez $\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9}$ et $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.1.8

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.3

Associez.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

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Étape 8.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 (3 x - 1) \cdot 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.2

Pour écrire $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.3

Pour écrire $\frac{C}{e^{3 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 8.2.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9 e^{3 x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.4.1

Multipliez $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ par $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 8.2.3.4.2

Multipliez $\frac{C}{e^{3 x}}$ par $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Étape 8.2.3.4.3

Réorganisez les facteurs de $e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \frac{(6 x + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{(6 x - 2) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 8.2.3.6.5

Déplacez $9$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $\frac{1}{3}$ dans $y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ .

$\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 0 e^{3 \cdot 0} - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} = \frac{1}{3}$ .

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} = \frac{1}{3}$

Étape 10.2

Multipliez les deux côtés par $9 e^{3 \cdot 0}$ .

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.1.1

Simplifiez $\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0})$ .

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Étape 10.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $9 e^{3 \cdot 0}$ .

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Étape 10.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.1.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$6 \cdot (0 e^{0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.1.1.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$6 \cdot (0 \cdot 1) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.1.1.2.3

Multipliez $6 (0 \cdot 1)$ .

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Étape 10.3.1.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$6 \cdot 0 - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.1.1.2.3.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.1.1.2.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 2 e^{0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.1.1.2.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.1.1.2.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1.1.3.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.1.1.3.2

Remettez dans l’ordre $- 2$ et $9 C$ .

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Étape 10.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez $\frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$ .

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Étape 10.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.3.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9 e^{3 \cdot 0}$ .

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (3 (3 e^{3 \cdot 0}))$

Étape 10.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (3 (3 e^{3 \cdot 0}))$

Étape 10.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$9 C - 2 = 3 e^{3 \cdot 0}$

Étape 10.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.2.1.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$9 C - 2 = 3 e^{0}$

Étape 10.3.2.1.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$9 C - 2 = 3 \cdot 1$

Étape 10.3.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$9 C - 2 = 3$

Étape 10.4

Résolvez $C$ .

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Étape 10.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.4.1.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$9 C = 3 + 2$

Étape 10.4.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$9 C = 5$

Étape 10.4.2

Divisez chaque terme dans $9 C = 5$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 10.4.2.1

Divisez chaque terme dans $9 C = 5$ par $9$ .

$\frac{9 C}{9} = \frac{5}{9}$

Étape 10.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 10.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 C}{9} = \frac{5}{9}$

Étape 10.4.2.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{5}{9}$

Étape 11

Remplacez $C$ par $\frac{5}{9}$ dans $y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $\frac{5}{9}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 (\frac{5}{9})}{9 e^{3 x}}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 (\frac{5}{9})}{9 e^{3 x}}$

Étape 11.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 5}{9 e^{3 x}}$

Étape 11.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{6 e^{3 x} x + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

Étape 11.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y = \frac{6 e^{3 x} x + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$