Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x^{2} - 2 y^{2}) d y - 2 x y d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - 2 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Étape 2.2

Comme $- 2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $y$ est $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x^{2} - 2 y^{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 y^{2}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $- 2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 x$ .

$- 2 x = 6 x$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 x = 6 x$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 x$ .

$\frac{6 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x$ .

$\frac{6 x - (- 2 x)}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $- 2 x y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $- 2 x y$ .

$\frac{6 x - (- 2 x)}{- 2 x y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x - (- 2 x)$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{x \cdot 6 - (- 2 x)}{- 2 x y}$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- (- 2 x)$ .

$\frac{x \cdot 6 + x (- (- 2))}{- 2 x y}$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 6 + x (- (- 2))$ .

$\frac{x (6 - (- 2))}{- 2 x y}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{x (6 + 2)}{- 2 x y}$

Étape 5.3.2.3

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{- 2 y}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $- 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (4)}{- 2 y}$

Étape 5.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{2 (4)}{2 (- y)}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (- y)}$

Étape 5.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{- y}$

Étape 5.3.5

Remplacez $M$ par $- 2 x y$ .

$- \frac{4}{y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Étape 6.2

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 6.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 4 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 4$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Étape 6.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Étape 6.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{4}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- 2 x y$ par $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- 2 x y \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y$ .

$y (- 2 x) \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{4}$ .

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun.

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 x \frac{1}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{- 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.4

Associez $x$ et $\frac{- 2}{y^{3}}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.5

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 7.7

Multipliez $3 x^{2} - 2 y^{2}$ par $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Étape 7.8

Multipliez $3 x^{2} - 2 y^{2}$ par $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 x}{y^{3}} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = - \frac{2 x}{y^{3}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int \frac{2 x}{y^{3}} d x$

Étape 9.2

Comme $\frac{2}{y^{3}}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{y^{3}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (\frac{2}{y^{3}} \int x d x)$

Étape 9.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \int x d x$

Étape 9.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 9.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.5.1

Réécrivez $- \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 9.5.2

Simplifiez

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Étape 9.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

Étape 9.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

Étape 9.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} x^{2} + C$

Étape 9.5.2.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{y^{3}}$ par rapport à $y$ est $- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}]$ .

$- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{3}}$ comme ${(y^{3})}^{- 1}$ .

$- x^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{3}$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{3}$ .

$- x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{3}$ .

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 12.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2} (- y^{3 \cdot - 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- x^{2} (- y^{- 6} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- x^{2} (- 3 y^{- 6} y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.7

Multipliez $y^{- 6}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.7.1

Déplacez $y^{2}$ .

$- x^{2} (- 3 (y^{2} y^{- 6})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2} (- 3 y^{2 - 6}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- x^{2} (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.3.8

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} \frac{1}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.5.2

Associez des termes.

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Étape 12.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{y^{4}}$ .

$x^{2} \frac{3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.5.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{y^{4}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.5.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 12.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1.1

Soustrayez $\frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} - \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2} - 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2}) - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.4

Soustrayez $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.6

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y^{4}$ .

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Étape 13.1.1.6.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.1.6.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

Étape 13.1.2

Soustrayez $\frac{2}{y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- \frac{2}{y^{2}}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

Étape 14.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Étape 14.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Étape 14.6

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Étape 14.7

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 14.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Étape 14.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

Étape 14.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

Étape 14.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.9.1

Réécrivez $- 2 (- y^{- 1} + C)$ comme $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

Étape 14.9.2

Simplifiez

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Étape 14.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

Étape 14.9.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{2}{y} + C$