Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x^{2} \cos (x)$ par $x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Étape 1.3

Associez $\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ et $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{2}{x^{2}} y x = x^{2} \cos (x) x$

Étape 1.4

Associez $y$ et $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y \cdot 2}{x^{2}} x = x^{2} \cos (x) x$

Étape 1.5

Associez $x$ et $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{2} \cos (x) x$

Étape 1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1} x^{2} \cos (x)$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1 + 2} \cos (x)$

Étape 1.8

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Étape 1.9

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Étape 1.9.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Étape 1.10

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.10.1

Factorisez $x$ à partir de $x y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{3} \cos (x)$

Étape 1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.10.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

Étape 1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{3} \cos (x)$

Étape 1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y \cdot 2}{x} = x^{3} \cos (x)$

Étape 1.11

Remettez dans l’ordre $y$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cdot y}{x} = x^{3} \cos (x)$

Étape 1.12

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{2 \cdot y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = x^{3} \cos (x)$

Étape 1.13

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = x^{3} \cos (x)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 2}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Étape 3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{2 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Étape 3.2.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{3} \cos (x))$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} \cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (x \cos (x)))$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = x \cos (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = x \cos (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int x \cos (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x \cos (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Étape 7.2

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$

Étape 7.3

Réécrivez $x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$ comme $x \sin (x) + \cos (x) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x \sin (x) + \cos (x) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x \sin (x) + \cos (x) + C$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Étape 8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $(x \sin (x) + \cos (x) + C) x^{2}$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \sin (x) x^{2} + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = x^{2} x \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.3.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.3.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} x^{1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.3.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2 + 1} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.3.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.3.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{3} \sin (x) + \cos (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x) + C x^{2}$

Étape 8.3.2.1.4

Déplacez $x^{2} \cos (x)$ .

$y = x^{3} \sin (x) + C x^{2} + x^{2} \cos (x)$

Étape 8.3.2.1.5

Remettez dans l’ordre $x^{3} \sin (x)$ et $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{3} \sin (x) + x^{2} \cos (x)$