Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = 4 e^{t} - 2$ ; , $x (0) = 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d x = (4 e^{t} - 2) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d x = \int 4 e^{t} - 2 d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$x + C_{1} = \int 4 e^{t} - 2 d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x + C_{1} = \int 4 e^{t} d t + \int - 2 d t$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$x + C_{1} = 4 \int e^{t} d t + \int - 2 d t$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$x + C_{1} = 4 (e^{t} + C_{2}) + \int - 2 d t$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$x + C_{1} = 4 (e^{t} + C_{2}) - 2 t + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$x + C_{1} = 4 e^{t} - 2 t + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$x + C_{1} = - 2 t + 4 e^{t} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$x = - 2 t + 4 e^{t} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $0$ et $x$ par $1$ dans $x = - 2 t + 4 e^{t} + K$ .

$1 = - 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 1$ .

$- 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 1$

Étape 4.2

Simplifiez $- 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = 1$

Étape 4.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = 1$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$0 + 4 + K = 1$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 + K = 1$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$K = 1 - 4$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$K = - 3$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 3$ dans $x = - 2 t + 4 e^{t} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 3$ .

$x = - 2 t + 4 e^{t} - 3$