Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 4$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 4 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{4 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{4 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{4 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

Étape 6.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Étape 6.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Étape 6.3.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Étape 6.5

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.5.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.5.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 6.5.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 6.5.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 6.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Étape 6.6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Étape 6.7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Étape 6.8

Simplifiez

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Étape 6.8.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Étape 6.8.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Étape 6.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Étape 6.10

Réécrivez $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ comme $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 6.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Étape 6.12

Simplifiez

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Étape 6.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.12.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Étape 6.12.1.2

Associez $\frac{x}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Étape 6.12.1.3

Associez $e^{4 x}$ et $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Étape 6.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Étape 6.12.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.12.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Étape 6.12.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Étape 6.12.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Étape 6.12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.12.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{4 x}}{16}$ dans le numérateur.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Étape 6.12.4.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

Étape 6.12.4.3

Annulez le facteur commun.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Étape 6.12.4.4

Réécrivez l’expression.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

Étape 6.12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

Étape 6.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ par $e^{4 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ par $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{4 x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{4 x}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.1.1.2

Divisez $\frac{1}{2} x$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{4 x}$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.1.2.2

Divisez $- \frac{1}{8}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.2

Soustrayez $\frac{1}{8}$ de $\frac{1}{2} x$ .

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Étape 7.3.2.1

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.2.2

Pour écrire $x \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.2.3

Associez $x \frac{1}{2}$ et $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.3.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.4

Pour écrire $\frac{4 x - 1}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.3.5

Pour écrire $\frac{C}{e^{4 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 7.3.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8 e^{4 x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.6.1

Multipliez $\frac{4 x - 1}{8}$ par $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 7.3.6.2

Multipliez $\frac{C}{e^{4 x}}$ par $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

Étape 7.3.6.3

Réorganisez les facteurs de $e^{4 x} \cdot 8$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Étape 7.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Étape 7.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Étape 7.3.8.2

Réécrivez $- 1 e^{4 x}$ comme $- e^{4 x}$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Étape 7.3.8.3

Déplacez $8$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$