Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = e^{x - t}$

Étape 1

Laissez $v = e^{x - t}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x - t}$ par $v$ .

$\frac{d x}{d t} = v$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d t}$ en différenciant $e^{x - t}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = x - t$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [x - t]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [x - t]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} \frac{d}{d t} [x - t]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d t} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' + \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1 \cdot 1)$

Étape 2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1)$

Étape 3

Remplacez $e^{x - t}$ par $v$ .

$\frac{d v}{d t} = v (x' - 1)$

Étape 4

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} + 1 = v$

Étape 5

Séparez les variables.

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Étape 5.1

Résolvez $\frac{d v}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} = v - 1$

Étape 5.1.2

Multipliez les deux côtés par $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 5.1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Étape 5.1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d t} = (v - 1) v$

Étape 5.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.2.1

Simplifiez $(v - 1) v$ .

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Étape 5.1.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d v}{d t} = v \cdot v - 1 v$

Étape 5.1.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.3.2.1.2.1

Multipliez $v$ par $v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - 1 v$

Étape 5.1.3.2.1.2.2

Réécrivez $- 1 v$ comme $- v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - v$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $v^{2} - v$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = 1$

Étape 5.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{v^{2} - v} d v = 1 d t$

Étape 6

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{v^{2} - v} d v = \int d t$

Étape 6.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 6.2.1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 6.2.1.1.1

Factorisez $v$ à partir de $v^{2} - v$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Factorisez $v$ à partir de $v^{2}$ .

$\frac{1}{v \cdot v - v}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Factorisez $v$ à partir de $- v$ .

$\frac{1}{v \cdot v + v \cdot - 1}$

Étape 6.2.1.1.1.3

Factorisez $v$ à partir de $v \cdot v + v \cdot - 1$ .

$\frac{1}{v (v - 1)}$

Étape 6.2.1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $v (v - 1)$ .

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 6.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $v - 1$ .

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Étape 6.2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1.6.1

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 6.2.1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.6.1.2

Divisez $A (v - 1)$ par $1$ .

$1 = A (v - 1) + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A (v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.6.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $A$ .

$1 = A (v) - 1 \cdot A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.6.4

Réécrivez $- 1 A$ comme $- A$ .

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.6.5

Annulez le facteur commun de $v - 1$ .

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Étape 6.2.1.1.6.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Étape 6.2.1.1.6.5.2

Divisez $B v$ par $1$ .

$1 = A v - A + B v$

Étape 6.2.1.1.7

Déplacez $- A$ .

$1 = A v + B v - A$

Étape 6.2.1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 6.2.1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $v$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 6.2.1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $v$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 A$

Étape 6.2.1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Étape 6.2.1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 6.2.1.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = - 1 A$ .

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Étape 6.2.1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Étape 6.2.1.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 1 A = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 1 A = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Étape 6.2.1.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.3.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Étape 6.2.1.3.1.2.2.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Étape 6.2.1.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1.3.1.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Étape 6.2.1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- 1$ dans chaque équation.

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Étape 6.2.1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A + B$ par $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Étape 6.2.1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Étape 6.2.1.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - 1 + B$ .

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Étape 6.2.1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Étape 6.2.1.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Étape 6.2.1.3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = 1 A = - 1$

Étape 6.2.1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = 1, A = - 1$

Étape 6.2.1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$- \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}$

Étape 6.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Étape 6.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Étape 6.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Étape 6.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{v}$ par rapport à $v$ est $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Étape 6.2.5

Laissez $u_{2} = v - 1$ . Puis $d u_{2} = d v$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.2.5.1

Laissez $u_{2} = v - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Étape 6.2.5.1.1

Différenciez $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Étape 6.2.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $v - 1$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 6.2.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 6.2.5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.2.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Étape 6.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d t$

Étape 6.2.7

Simplifiez

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Étape 6.2.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d t$

Étape 6.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = t + C_{4}$

Étape 6.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = t + C$

Étape 7

Résolvez $v$ .

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Étape 7.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = t + C$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $t$ et $C$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$

Étape 7.3

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + t}$

Étape 7.4

Réécrivez $\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C + t} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Étape 7.5

Résolvez $v$ .

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Étape 7.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$

Étape 7.5.2

Multipliez les deux côtés par $| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Étape 7.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| v |$ .

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Étape 7.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Étape 7.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| u_{2} | = e^{C + t} | v |$

Étape 7.5.4

Résolvez $v$ .

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Étape 7.5.4.1

Réécrivez l’équation comme $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ .

$e^{C + t} | v | = | u_{2} |$

Étape 7.5.4.2

Divisez chaque terme dans $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ par $e^{C + t}$ et simplifiez.

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Étape 7.5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ par $e^{C + t}$ .

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Étape 7.5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{C + t}$ .

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Étape 7.5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Étape 7.5.4.2.2.1.2

Divisez $| v |$ par $1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Étape 7.5.4.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Étape 8

Regroupez les termes constants.

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Étape 8.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}$

Étape 8.2

Réécrivez $e^{t + C}$ comme $e^{t} e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}$

Étape 8.3

Remettez dans l’ordre $e^{t}$ et $e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $e^{x - t}$ .

$e^{x - t} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x - t}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Étape 10.2

Développez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Développez $\ln (e^{x - t})$ en déplaçant $x - t$ hors du logarithme.

$(x - t) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Étape 10.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(x - t) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Étape 10.2.3

Multipliez $x - t$ par $1$ .

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Étape 10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}})$

Étape 10.4

Ajoutez $t$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}) + t$

Étape 11

Regroupez les termes constants.

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Étape 11.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}) + t$

Étape 11.2

Réécrivez $e^{t + C}$ comme $e^{t} e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}) + t$

Étape 11.3

Remettez dans l’ordre $e^{t}$ et $e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}) + t$