Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d F}{d x} = 4 e^{x} + 5 x^{2}$ , $F (0) = - 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d F = (4 e^{x} + 5 x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d F = \int 4 e^{x} + 5 x^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$F + C_{1} = \int 4 e^{x} + 5 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$F + C_{1} = \int 4 e^{x} d x + \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$F + C_{1} = 4 \int e^{x} d x + \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 5 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$F + C_{1} = 4 e^{x} + 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$F + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{5}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$F + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $F$ par $- 4$ dans $F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$ .

$- 4 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K = - 4$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K = - 4$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 e^{0} + K = - 4$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 4$

Étape 4.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = - 4$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$0 + 4 + K = - 4$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 + K = - 4$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 4 - 4$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

$K = - 8$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 8$ dans $F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 8$ .

$F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} - 8$

Étape 5.2

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{3}$ .

$F = \frac{5 x^{3}}{3} + 4 e^{x} - 8$