Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 2.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = x^{2} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Étape 4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Étape 4.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

Étape 5

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$