Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ , $y (0) = 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 3 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 3 x^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$y + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = x^{3} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $5$ dans $y = x^{3} + K$ .

$5 = 0^{3} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $0^{3} + K = 5$ .

$0^{3} + K = 5$

Étape 4.2

Simplifiez $0^{3} + K$ .

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + K = 5$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 5$

Étape 5

Remplacez $K$ par $5$ dans $y = x^{3} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $5$ .

$y = x^{3} + 5$