Calcul infinitésimal Exemples

$(y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}) d x + (e^{x} + 2 x y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y e^{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y e^{x}$ par rapport à $y$ est $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Comme $2 e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + 2 y$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 2 y$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + e^{x}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + 2 x y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + e^{x}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y + e^{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y + e^{x}$ .

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x} + 2 x y d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int e^{x} d y + \int 2 x y d y$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{x} y + C + \int 2 x y d y$

Étape 5.3

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x \int y d y$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x y^{2} + C$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Étape 5.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = e^{x} y + 1 x y^{2} + C$

Étape 5.6.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y + x y^{2} + g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{x} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y e^{x} + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y e^{x} + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y e^{x} + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 8.4.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 8.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $y e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + 0 - y e^{x}$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $y e^{x} + 2 e^{x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} - y e^{x}$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x} + 0$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $2 e^{x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2 e^{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 e^{x} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 e^{x} d x$

Étape 10.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 \int e^{x} d x$

Étape 10.4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$g (x) = 2 (e^{x} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez

$g (x) = 2 e^{x} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y e^{x} + x y^{2} + 2 e^{x} + C$