Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{2}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V - V^{2}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V - V^{2} - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V - V^{2} - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2} + 0$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $- V^{2}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{x})$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $V^{2}$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{V^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.2.1.1

Retirez $V^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V^{- 2}$ par rapport à $V$ est $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez $- V^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$V, 1, 1$

Étape 6.3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$V$

Étape 6.3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ par $V$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ par $V$ .

$- \frac{1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $V$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{V}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln (| x |) V + C V$ .

$- 1 = - V \ln (| x |) + C V$

Étape 6.3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- V \ln (| x |) + C V = - 1$ .

$- V \ln (| x |) + C V = - 1$

Étape 6.3.3.2

Factorisez $V$ à partir de $- V \ln (| x |) + C V$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $V$ à partir de $- V \ln (| x |)$ .

$V (- 1 \ln (| x |)) + C V = - 1$

Étape 6.3.3.2.2

Factorisez $V$ à partir de $C V$ .

$V (- 1 \ln (| x |)) + V C = - 1$

Étape 6.3.3.2.3

Factorisez $V$ à partir de $V (- 1 \ln (| x |)) + V C$ .

$V (- 1 \ln (| x |) + C) = - 1$

Étape 6.3.3.3

Réécrivez $- 1 \ln (| x |)$ comme $- \ln (| x |)$ .

$V (- \ln (| x |) + C) = - 1$

Étape 6.3.3.4

Divisez chaque terme dans $V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ par $- \ln (| x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ par $- \ln (| x |) + C$ .

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (| x |) + C$ .

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Étape 6.3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.4.2.1.2

Divisez $V$ par $1$ .

$V = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = - \frac{1}{- \ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (| x |)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) + C}$

Étape 6.3.3.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) - 1 (- C)}$

Étape 6.3.3.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln (| x |)) - 1 (- C)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |) - C)}$

Étape 6.3.3.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.3.4.3.5.1

Réécrivez $- (\ln (| x |) - C)$ comme $- 1 (\ln (| x |) - C)$ .

$V = - \frac{1}{- 1 (\ln (| x |) - C)}$

Étape 6.3.3.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = - - \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Étape 6.3.3.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = 1 \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Étape 6.3.3.4.3.5.4

Multipliez $\frac{1}{\ln (| x |) - C}$ par $1$ .

$V = \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Étape 8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Associez $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{\ln (| x |) + C}$