Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{y \cos^{2} (x)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{3}$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3} (\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1}{y \cos^{2} (x)}$

Étape 1.3.2

Associez.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y (3 \cdot 1)}{3 (y \cos^{2} (x))}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y (3 \cdot 1)}{3 (y \cos^{2} (x))}$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 1}{3 (\cos^{2} (x))}$

Étape 1.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cos^{2} (x)}$

Étape 1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.3.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.3.6

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 1.3.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{3} d y = \sec^{2} (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{3} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int y d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.2.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{6} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 2.3

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$\frac{1}{6} y^{2} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{6} y^{2} = \tan (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $6$ .

$6 (\frac{1}{6} y^{2}) = 6 (\tan (x) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $6 (\frac{1}{6} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $y^{2}$ .

$6 \frac{y^{2}}{6} = 6 (\tan (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{y^{2}}{6} = 6 (\tan (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 6 (\tan (x) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 6 \tan (x) + 6 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{6 \tan (x) + 6 K}$

Étape 3.4

Factorisez $6$ à partir de $6 \tan (x) + 6 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6 \tan (x)$ .

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x)) + 6 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $6$ à partir de $6 K$ .

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x)) + 6 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (\tan (x)) + 6 K$ .

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$