Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2} + 2 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 1.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 1.5

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Étape 1.6

Associez des termes.

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Étape 1.6.1

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$2 y = 0$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 y = 0$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $2 y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $2 y$ .

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun à $2 y + 0$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

Étape 4.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

Étape 4.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (y) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Étape 4.3.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

Étape 4.3.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Étape 4.3.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 0}{y}$

Étape 4.3.3

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{y}{y}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int d x}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Étape 5.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2} + y^{2} + 2 x$ par $e^{x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $2 y$ par $e^{x}$ .

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = 2 y e^{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $2 e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 e^{x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.3.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{x} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 11.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $y^{2} e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

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Étape 12.1.2.1

Soustrayez $y^{2} e^{x}$ de $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Étape 13.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Étape 13.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Étape 13.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Étape 13.7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Étape 13.8

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Étape 13.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Étape 13.10

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Étape 13.11

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Étape 13.12

Simplifiez

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

Étape 15.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Étape 15.2

Associez les termes opposés dans $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

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Étape 15.2.1

Additionnez $- 2 x e^{x}$ et $2 x e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

Étape 15.2.2

Additionnez $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ et $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

Étape 15.2.3

Soustrayez $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

Étape 15.2.4

Additionnez $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ et $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

Étape 15.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$